System Trachtenberga | Blog Adama Klimowskiego

System Trachtenberga

3 gru 2006, 17:32

123456789 razy 4. Jak wiele czasu zajmie wam obliczenie wyniku tego działania?

ZastanawialiÅ›cie siÄ™ nieraz, jak przyspieszyć wykonywanie obliczeÅ„ podobnych do powyższego przykÅ‚adu? Jak skutecznie mnożyć kilkunastocyfrowe liczby przez 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12? Okazuje siÄ™, że istnieje pewien system, pozwalajÄ…cy na to. StworzyÅ‚ go ukraiÅ„ski inżynier, Jakow Trachtenberg, w czasie swojego pobytu w… obozie koncentracyjnym.

Uwaga 1: pod pojęciem sąsiad rozumiemy cyfrę znajdującą się po prawej stronie danej cyfry (gdy dana cyfra nie ma sąsiada, przyjmujemy 0)

Uwaga 2: każdej liczbie, na której wykonujemy działania, przypisujemy z przodu 0 (np. jeśli rozważamy liczbę 7623, zapisujemy ją jako 07623)

Uwaga 3: pod pojęciem połowy danej cyfry rozumiemy jej połowę zaokrągloną do całości w dół, np. połowa 7 to 3. Połowa 1 to 0, połowa 0 to 0.

Mnożenie przez 12

  1. Rozważamy liczbę 7117. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 07117.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Mnożymy każdą cyfrę przez 2 i dodajemy do niej sąsiada.
  4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

RozwiÄ…zanie:

7 = 7 x 2 + 0 (brak sąsiada) = 1/4 (czwórka zostaje, jedynka idzie w dół)
1 = 1 x 2 + 7 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/0
1 = 1 x 2 + 1 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 4
7 = 7 x 2 + 1 (sÄ…siad) = 1/5
0 = 0 x 2 + 7 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 8

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 85404. Zgadza się.

Mnożenie przez 11

  1. Rozważamy liczbę 2345. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 02345.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Do każdej cyfry dodajemy jej sąsiada.
  4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

RozwiÄ…zanie:

5 = 5 + 0 (brak sÄ…siada) = 5
4 = 4 + 5 (sÄ…siad) = 9
3 = 3 + 4 (sÄ…siad) = 7
2 = 2 + 3 (sÄ…siad) = 5
0 = 0 + 2 (sÄ…siad) = 2

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 25795. Zgadza się.

Mnożenie przez 9

  1. Rozważamy liczbę 34567. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 034567.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Bierzemy pierwszą cyfrę ze słupka i odejmujemy ją od 10.
  4. Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Do wyniku dodajemy sąsiada.
  5. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

RozwiÄ…zanie:

7 = 10 – 7 =3
6 = (9 – 6) + 7 (sÄ…siad) = 1/0
5 = (9 – 5) + 6 (sÄ…siad) + 1 (ta z góry) = 1/1
4 = (9 – 4) + 5 (sÄ…siad) + 1 (ta z góry) = 1/1
3 = (9 – 3) + 4 (sÄ…siad) + 1 (ta z góry) = 1/1
0 = (9 – 0) + 3 (sÄ…siad) + 1 (ta z góry) = 1/3 (jedynka idzie w dół; nie bierzemy jej pod uwagÄ™)

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 311103. Zgadza się.

Mnożenie przez 8

  1. Rozważamy liczbę 45678. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 045678.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Bierzemy pierwszą cyfrę ze słupka i odejmujemy ją od 10. Wynik mnożymy przez 2.
  4. Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Wynik mnożymy przez 2. Dodajemy sąsiada.
  5. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

RozwiÄ…zanie:

8 = (10 – 8) x 2 = 4
7 = (9 – 7) x 2 + 8 (sÄ…siad) = 1/2
6 = (9 – 6) x 2 + 7 (sÄ…siad) + 1 (ta z góry) = 1/4
5 = (9 – 5) x 2 + 6 (sÄ…siad) + 1 (ta z góry) = 1/5
4 = (9 – 4) x 2 + 5 (sÄ…siad) + 1 (ta z góry) = 1/6
0 = (9 – 0) x 2 + 4 (sÄ…siad) + 1 (ta z góry) = 2/3 (dwójka idzie w dół; nie bierzemy jej pod uwagÄ™)

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 365424. Zgadza się.

Mnożenie przez 7

  1. Rozważamy liczbę 56789. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 056789.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Podwajamy każdą cyfrę i dodajemy do niej połowę sąsiada. Jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta, dodajemy 5.
  4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

RozwiÄ…zanie:

9 = 9 x 2 + 0 (brak sÄ…siada) + 5 (9 jest nieparzyste) = 2/3
8 = 8 x 2 + 4 (sąsiad) + 2 (ta z góry) = 2/2
7 = 7 x 2 + 4 (sąsiad) + 5 (7 jest nieparzyste) + 2 (ta z góry) = 2/5
6 = 6 x 2 + 3 (sąsiad) + 2 (ta z góry) = 1/7
5 = 5 x 2 + 3 (sąsiad) + 5 (5 jest nieparzyste) + 1 (ta z góry) = 1/9
0 = 0 x 2 + 2 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 3

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 397523. Zgadza się.

Mnożenie przez 6

  1. Rozważamy liczbę 67890. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 067890.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Dodajemy do każdej cyfry połowę sąsiada. Jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta, dodajemy 5.
  4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

RozwiÄ…zanie:

0 = 0 + 0 (brak sÄ…siada) = 0
9 = 9 + 0 (połowa sąsiada) + 5 (9 jest nieparzyste) = 1/4
8 = 8 + 4 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 1/3
7 = 7 + 4 (połowa sąsiada) + 5 (7 jest nieparzyste) + 1 (ta z góry) = 1/7
6 = 6 + 3 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 1/0
0 = 0 + 3 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 4

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 407340. Zgadza się.

Mnożenie przez 5

  1. Rozważamy liczbę 91372. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 091372.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Każdej cyfrze przypisujemy połowę sąsiada. Jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta, dodajemy 5.
  4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

RozwiÄ…zanie:

2 = 0 (brak sÄ…siada) = 0
7 = 1 (połowa sąsiada) + 5 (7 jest nieparzyste) = 6
3 = 3 (połowa sąsiada) + 5 (3 jest nieparzyste) = 8
1 = 1 (połowa sąsiada) + 5 (1 jest nieparzyste) = 6
9 = 0 (połowa sąsiada) + 5 (9 jest nieparzyste) = 5
0 = 4 (połowa sąsiada) + 1 = 4

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 456860. Zgadza się.

Mnożenie przez 4

  1. Rozważamy liczbę 8621. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 08621.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Pierwszą cyfrę w słupku odejmujemy od 10. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
  4. Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Do wyniku dodajemy połowę sąsiada. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
  5. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

RozwiÄ…zanie:

1 = (10 – 1) + 0 (brak sÄ…siada) + 5 (1 jest nieparzyste) = 1/4
2 = 7 + 0 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 8
6 = 3 + 1 (połowa sąsiada) = 4
8 = 1 + 3 (połowa sąsiada) = 4
0 = 9 + 4 (połowa sąsiada) = 1/3 (jedynka idzie w dół; nie bierzemy jej pod uwagę)

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 34484. Zgadza się.

Mnożenie przez 3

  1. Rozważamy liczbę 5083. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 05083.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Pierwszą cyfrę w słupku odejmujemy od 10. Wynik mnożymy przez 2. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
  4. Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Wynik mnożymy przez 2. Do wyniku dodajemy połowę sąsiada. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
  5. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

RozwiÄ…zanie:

3 = (10 – 3) x 2 + 0 (brak sÄ…siada) + 5 (3 jest nieparzyste) = 1/9
8 = (9 – 8) x 2 + 1 (poÅ‚owa sÄ…siada) + 1 (ta z góry) = 4
0 = (9 – 0) x 2 + 4 (poÅ‚owa sÄ…siada) = 2/2
5 = (9 – 5) x 2 + 0 (poÅ‚owa sÄ…siada) + 5 (5 jest nieparzyste) + 2 (ta z góry) = 1/5
0 = (9 – 0) x 2 + 2 (poÅ‚owa sÄ…siada) + 1 (ta z góry) = 2/1 (dwójka idzie w dół; nie bierzemy jej pod uwagÄ™)

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 15249. Zgadza się.

Mnożenie przez 2

  1. Rozważamy liczbę 9870. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 09870.
  2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
  3. Podwajamy każdą cyfrę.
  4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

RozwiÄ…zanie:

0 = 0 x 2 = 0
7 = 7 x 2 = 1/4
8 = 8 x 2 + 1 (ta z góry) = 1/7
9 = 9 x 2 + 1 (ta z góry) = 1/9
0 = 0 x 2 + 1 (ta z góry) = 1

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 19740. Zgadza się.

Podobne wpisy

Dodaj do Delicji
Wrzuć link na Facebooka

Kategorie: Ciekawe i ważne, Nauka
Tagi: , ,

Komentarze (13) do wpisu “System Trachtenberga”

  1. Polinik
    3 gru 2006 o 18:22

    A właściwie po jaką cholerę tak kombinować? Mnożenia w słupku uczą już w podstawówce, w dodatku jest szybsze, łatwiejsze od tej metody. No i nie ogranicza się do mnożenia tylko przez kilka liczb (3-12).

  2. Facebook User
    3 gru 2006 o 21:22

    Odpowiem jak ChiÅ„czyk ze skeczu Ani Mru-Mru: „Ale dziaÅ‚a!”

  3. Paweł `hwao` Halicki
    4 gru 2006 o 1:23

    Ciekawe i to siÄ™ liczy. :-)

  4. vooy
    4 gru 2006 o 13:01

    spytalem o ten system znajomego eksperta w dziedzinie matematyki, oto odpowiedz:

    396573

  5. Jak podrywać dziewczyny
    4 gru 2006 o 14:31

    Jakoś nie mam zamiłowania do liczenia w pamięci, czasem dodanie dwóch niewielkich liczb sprawia mi problem :) Zdecydowanie łatwiej idzie mi obliczanie np całek niż mnożenie czy dzielenie zwykłych liczb :) Co to Politechnika robi z człowiekiem ;)
    Pozdrawiam.

  6. podryw
    4 gru 2006 o 14:31

    NapisaÅ‚em komentarz i wyskoczyÅ‚ mi „Internal Server Error” i caÅ‚y wpis poszedÅ‚ …. :(

  7. Bolo
    4 gru 2006 o 16:58

    Na tym obozie musiało być strasznie nudno.

  8. Facebook User
    4 gru 2006 o 17:02

    W pewnej książce było napisane, że Trachtenberg zajął się tym systemem, bo to pozwoliło mu zachować zdrowie psychiczne przez całe 7 lat, które tam spędził.

  9. DrLex
    5 gru 2006 o 13:13

    Podpowiem ten sposób kolegom analitykom, może wreszcie szybciej będą generować raporty niż z Excela.
    Rozumiem jakby ten Pan inż. rozwiązał jakiś problem NP-trudny tudzież zupełny, a tu mnożenie? Szczerze bardziej praktyczny sposób występuje w postaci algorytmu chłopów rosyjskich.

  10. Studęcina
    7 gru 2006 o 15:11

    :] fajne a co by było jakby to zapisać w algorytmie z pascala lub c :P

  11. ZZ
    16 gru 2006 o 20:06

    może średnio praktyczne, ale ciekawe

  12. fdgdfgdfg
    31 sie 2010 o 11:13

    Jest tam błąd.
    Powinno być większe równe 10 przy mnożeniu przez 2.
    A systemu można się nauczyć i stosować. Ciekawe

Trackbacki

  1. Anonim